7. Cinemática

Principal Velocidad media Enunciados

MECÁNICA

 
  CINEMÁTICA A Cinemática estuda o movemento sen atender ás súas causas, describe como é o movemento

MECÁNICA

DINÁMICA Das causas do movemento encargarase a Dinámica
A Mecánica é a parte da Física que estuda o movemento ESTÁTICA A Estática estuda situacións de equilibrio entre corpos

QUE É O MOVEMENTO?

Que é o movemento? Non é fácil definir o movemento. En principio notamos que nos movemos cando nos damos conta que hai corpos que están en repouso. Pero hai corpos en repouso? Sabemos que no Universo todo está en movemento, non hai polo tanto un repouso absoluto. Esta é a razón de que teñamos que definir Sistemas de Referencia, estes serán corpos que supoñamos en repouso, respecto de os cales imos describir o movemento. Resulta que entón todos os movementos son relativos.

Movemento é o cambio de posición dun corpo respecto dun sistema de referencia que consideramos fixo.

Un Sistema de Referencia será un punto ou conxunto de puntos respecto ao cal describimos o movemento dos corpos. Por exemplo, si estás nunha habitación, un vértice das paredes pode ser un bo sistema de referencia para describir o noso movemento pola casa, supoñamos que as paredes están en repouso para o movemento que imos estudar. As aristas das paredes e o chan forman un sistema de coordenadas ligado ao sistema de referencia que nos permite dar as coordenadas da posición do móbil, (lonxitude, anchura, altura). Estes sistemas denomínanse sistemas de referencia cartesianos.

COORDENADAS DUN MÓBIL

A posición dun móbil vén dada pola distancia que o separa da orixe de coordenadas.

Para unha dimensión: x = 4,00m indica que o móbil está a 4m da orixe de coordenadas.

Para dúas dimensións, un plano: x = 4,00m y = 3,00m o móbil está a 4m da orixe sobre o eixe X, e a 3m da orixe sobre o eixe Y.

Para tres dimensións, o espazo: x = 4,00m y = 3,00m z = 2,00m o móbil está a 4m da orixe sobre o eixe X, a 3m da orixe sobre o eixe Y e a 2m da orixe sobre o eixe Z.

VECTOR DE POSICIÓN

Para describir o movemento dun móbil debemos dar a posición do mesmo respecto dos eixes de coordenadas. Esta posición dámola como un vector que chamamos vector de posición.

Para unha dimensión, eixe X, a posición dámola en función dun vector unitario, i. A posición representámola por un vector que vai da orixe de coordenadas ao punto P.

Para dúas dimensións, eixes X e Y, a posición dámola en función dos vectores unitarios, i e j. A posición representámola por un vector que vai da orixe de coordenadas ao punto P. Este vector é a composición de dous vectores que van da orixe de coordenadas á perpendicular sobre cada eixe do punto P.

Para tres dimensións, eixes X, Y e Z, a posición dámola en función dos vectores unitarios, i, j e k. A posición representámola por un vector que vai da orixe de coordenadas ao punto P. Este vector é a composición de tres vectores que van da orixe de coordenadas á perpendicular sobre cada eixe do punto P.

VECTOR DESPRAZAMENTO

Supoñamos unha soa dimensión, describímola co eixe X.

A posición correspondente a un instante t vén dada polo vector de posición

A posición inicial para un instante t0 vén dada polo vector de posición

A posición é o vector que ten como módulo a distancia do móbil á orixe medida sobre o eixe. A dirección e sentido veñen dados polo vector unidade i.

O vector desprazamento describe o cambio de posición do móbil entre os instantes t0 e t.

Supoñamos que un móbil se despraza entre a posición 3 e a posición 7 sobre o eixe X. O vector desprazamento será:

Non debes confundir vector de posición con vector desprazamento. Da mesma forma que non debes confundir instante, t ou t0, con intervalo de tempo que é

Para dúas dimensións: Eixes X, Y.

O vector de posición inicial, para t0, será: 

O vector de posición final, para t, será: 

O vector desprazamento:

 

 

TRAXECTORIA E DISTANCIA PERCORRIDA

Cando un móbil se move a traxectoria é a liña que une os puntos, ou posicións, polos que pasa o móbil.

A ecuación da traxectoria é unha ecuación do tipo:

Esta ecuación dános a coordenada (y) coñecendo cada unha das coordenadas (x) polas que pasa o móbil.

Se temos o vector de posición en función do tempo, que se coñece como ecuación do movemento, podemos calcular a ecuación da traxectoria. Supoñamos o seguinte vector de posición:

As ecuaciones que nos dan as compoñentes do vector de posición en función do tempo chámanse ecuaciones paramétricas. Se despexamos o tempo nunha delas e substituímolo na outra obtemos a ecuación da traxectoria.

Se coñecemos a traxectoria dun móbil podemos estudar o seu movemento sobre ela. Necesitamos tomar unha orixe de posicións e unha orixe de tempos. A ecuación que nos dá as posicións en función do tempo sobre a traxectoria é a ecuación intrínseca do movemento:

Representamos un movemento en dúas dimensións:

Neste movemento chamamos distancia percorrida, Δs, á distancia que percorre o móbil medida sobre a traxectoria. Non confundir co vector desprazamento, Δr, que une en liña recta a posición inicial coa final. Si a traxectoria é recta e non hai cambios de sentido a distancia percorrida é igual ao módulo do vector desprazamento, pero si a traxectoria é curvilínea a distancia percorrida é maior que o módulo do vector desprazamento.

EXERCICIOS PARA PRACTICAR

VELOCIDADE MEDIA

Observa a seguinte gráfica:

 

A velocidade media é un vector cociente entre o vector desprazamento, Δr, e o intervalo de tempo, Δt. A súa unidade no S. I. é o m/s.

Se medimos as distancias sobre a traxectoria:

A celeridade media é un escalar cociente entre a distancia percorrida sobre a traxectoria ,Δs ,e o intervalo de tempo, Δt.

Cando dividimos a distancia que percorremos nunha viaxe polo tempo investido, estamos calculando a celeridade media.

VELOCIDADE INSTANTÁNEA

Observa a seguinte gráfica:

Para o instante t0, o vector de posición é r0, para o instante t1, o vector de posición é r1, e para o instante t2, o vector de posición é r2. Si calculamos as velocidades medias canto máis próximos estean os instantes máis se aproximará a velocidade media á velocidade instantánea.

A velocidade instantánea podémola definir como o vector velocidade media cuado o intervalo de tempo tende a cero, isto coñécese tamén como derivada do vector de posición con respecto ao tempo.

Se medimos as distancias sobre a traxectoria, a celeridade instantánea é a celeridade media cando o intervalo de tempo tende a cero:

A celeridade instantánea coincide co módulo da velocidade instantánea.

 

ACELERACIÓN MEDIA

Observa a seguinte gráfica:

A aceleración media é un vector cociente entre o vector velocidade, Δv, e o intervalo de tempo, Δt. A súa unidade no S.I. é o m/s2.

EXERCICIOS PARA PRACTICAR

ACELERACIÓN INSTANTÁNEA

A aceleración instantánea podémola definir como o vector aceleración media cuado o intervalo de tempo tende a cero, isto coñécese tamén como derivada do vector de posición con respecto ao tempo.

O módulo da aceleración é:

O vector velocidade é un vector tangente á traxectoria pero o vector aceleración é un vector que apunta cara ao interior da curva que describe o móbil, xa que tamén dá conta do cambio de dirección da velocidade.

EXERCICIOS PARA PRACTICAR

COMPOÑENTES INTRÍNSECAS DA ACELERACIÓN

Podemos asociar a calquera punto dunha traxectoria un sistema de referencia, que se denomina sistema intrínseco á traxectoria.

A velocidade do móbil e o seu aceleración podémolos referir a este sistema intrínseco.

Podemos descompoñer o vector aceleración en dous compoñentes, unha tanxencial á traxectoria e outra normal, á traxectoria.

A compoñente tanxencial dános a variación do módulo da velocidade

A compoñente normal dános a variación da dirección da velocidade

EXERCICIOS PARA PRACTICAR

POSICIÓN ANGULAR

No movemento circular o móbil describe na súa traxectoria unha circunferencia. Para o seu estudo é útil usar un sistema de referencia ligado ao centro da circunferencia, a posición quedará fixada coñecendo o radio de curvatura e o ángulo que forma en cada instante.

Podemos representar o vector de posición da seguinte forma:

Se a posición angular depende do tempo podémola representar como unha función:

As unidades angulares represéntanse no S.I. en radiáns. Un radián é un ángulo de arco equivale ao radio.

Lembra a equivalencia entre grados sexaxesimales e radiáns:

VELOCIDADE ANGULAR

Se coñecemos a posición angular para dous instantes dados podemos definir a velocidade angular media como:

As súas unidades son rad/s, aínda que tamén é frecuente representala por rpm, revolucións por minuto, ou rms, revolucións por segundo.

Para unha diferenza infinitesimal de tempo podemos definir a velocidade angular instantánea como:

ACELERACIÓN ANGULAR

Se coñecemos a velocidade angular en dous instantes dados, a aceleración angular media será:

A súa unidade no S.I. é o rad/s2.

Para unha diferenza infinitesimal de tempo podemos definir a aceleración angular instantánea como:

A relación entre as magnitudes lineais e angulares é:

EXERCICIOS PARA PRACTICAR

RESUME DERIVADAS

No cálculo das velocidades e aceleracións instantáneas necesitas calcular derivadas. Se non as estudaches xa as estudarás moi pronto en matemáticas. Virache moi ben este resumo das principais derivadas que imos necesitar.

Derivada dunha función constante:

Derivada dunha variable:

Regra da suma:

Regra da diferenza:

Regra do múltiplo constante:

Regra da potencia:

Principal Velocidad media Enunciados