7. Cinemática

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MECÁNICA

 
  CINEMÁTICA La Cinemática estudia el movimiento sin atender a sus causas, describe como es el movimiento

MECÁNICA

DINÁMICA De las causas del movimiento se encargará la Dinámica
La Mecánica es la parte de la Física que estudia el movimiento ESTÁTICA La Estática estudia situaciones de equilibrio entre cuerpos

¿QUÉ ES EL MOVIMIENTO?

¿Qué es el movimiento? No es fácil definir el movimiento. En principio notamos que nos movemos cuando nos damos cuenta que hay cuerpos que están en reposo. ¿Pero hay cuerpos en reposo? Sabemos que en el Universo todo está en movimiento, no hay por lo tanto un reposo absoluto. Esta es la razón de que tengamos que definir Sistemas de Referencia, estos serán cuerpos que supongamos en reposo, respecto a los cuales vamos a describir el movimiento. Resulta que entonces todos los movimientos son relativos.

Movimiento es el cambio de posición de un cuerpo respecto a un sistema de referencia que consideramos fijo.

Un Sistema de Referencia será un punto o conjunto de puntos respecto al cual describimos el movimiento de los cuerpos. Por ejemplo, si estás en una habitación, un vértice de las paredes puede ser un buen sistema de referencia para describir nuestro movimiento por la casa, supongamos que las paredes están en reposo para el movimiento que vamos a estudiar. Las aristas de las paredes y el suelo forman un sistema de coordenadas ligado al sistema de referencia que nos permite dar las coordenadas de la posición del móvil, (longitud, anchura, altura). Estos sistemas se denominan sistemas de referencia cartesianos.

COORDENADAS DE UN MÓVIL

La posición de un móvil viene dada por la distancia que lo separa del origen de coordenadas.

Para una dimensión: x = 4,00m indica que el móvil está a 4m del origen de coordenadas.

Para dos dimensiones, un plano: x = 4,00m y = 3,00m el móvil está a 4m del origen sobre el eje X, y a 3m del origen sobre el eje Y.

Para tres dimensiones, el espacio: x = 4,00m y = 3,00m z = 2,00m el móvil está a 4m del origen sobre el eje X, a 3m del origen sobre el eje Y y a 2m del origen sobre el eje Z.

VECTOR DE POSICIÓN

Para describir el movimiento de un móvil debemos dar la posición del mismo respecto a los ejes de coordenadas. Esta posición la damos como un vector que llamamos vector de posición.

Para una dimensión, eje X, la posición la damos en función de un vector unitario, i. La posición la representamos por un vector que va del origen de coordenadas al punto P.

Para dos dimensiones, ejes X e Y, la posición la damos en función de los vectores unitarios, i y j. La posición la representamos por un vector que va del origen de coordenadas al punto P. Este vector es la composición de dos vectores que van del origen de coordenadas a la perpendicular sobre cada eje del punto P.

Para tres dimensiones, ejes X, Y y Z, la posición la damos en función de los vectores unitarios, i, j y k. La posición la representamos por un vector que va del origen de coordenadas al punto P. Este vector es la composición de tres vectores que van del origen de coordenadas a la perpendicular sobre cada eje del punto P.

VECTOR DESPLAZAMIENTO

Supongamos una sola dimensión, la describimos con el eje X.

La posición correspondiente a un instante t viene dada por el vector de posición

La posición inicial para un instante t0 viene dada por el vector de posición

La posición es el vector que tiene como módulo la distancia del móvil al origen medida sobre el eje. La dirección y sentido vienen dados por el vector unidad i.

El vector desplazamiento describe el cambio de posición del móvil entre los instantes to y t.

Supongamos que un móvil se desplaza entre la posición 3 y la posición 7 sobre el eje x. El vector desplazamiento será:

No debes confundir vector de posición con vector desplazamiento. De la misma forma que no debes confundir instante, t o t0, con intervalo de tiempo que es 

Para dos dimensiones: Ejes X, Y.

El vector de posición inicial, para t0, será: 

El vector de posición final, para t, será: 

El vector desplazamiento: 

 

 

TRAYECTORIA Y DISTANCIA RECORRIDA

Cuando un móvil se mueve la trayectoria es la línea que une los puntos, o posiciones, por los que pasa el móvil. 

La ecuación de la trayectoria es una ecuación del tipo:

Esta ecuación nos da la coordenada y conociendo cada una de las coordenadas x por las que pasa el móvil.

Si tenemos el vector de posición en función del tiempo, que se conoce como ecuación del movimiento, podemos calcular la ecuación de la trayectoria. Supongamos el siguiente vector de posición:

Las ecuaciones que nos dan las componentes del vector de posición en función del tiempo se llaman ecuaciones paramétricas. Si despejamos el tiempo en una de ellas y lo sustituimos en la otra obtenemos la ecuación de la trayectoria.

Si conocemos la trayectoria de un móvil podemos estudiar su movimiento sobre ella. Necesitamos tomar un origen de posiciones y un origen de tiempos. La ecuación que nos da las posiciones en función del tiempo sobre la trayectoria es la ecuación intrínseca del movimiento:

Representamos un movimiento en dos dimensiones:

En este movimiento llamamos distancia recorrida, Δs, a la distancia que recorre el móvil medida sobre la trayectoria. No confundir con el vector desplazamiento, Δr, que une en línea recta la posición inicial con la final. Si la trayectoria es recta y no hay cambios de sentido la distancia recorrida es igual al módulo del vector desplazamiento, pero si la trayectoria es curvilínea la distancia recorrida es mayor que el módulo del vector desplazamiento.

EJERCICIOS PARA PRACTICAR

VELOCIDAD MEDIA

Observa la siguiente gráfica:

 

La velocidad media es un vector cociente entre el vector desplazamiento, Δr, y el intervalo de tiempo, Δt. Su unidad en el S. I. es el m/s.

Si medimos las distancias sobre la trayectoria:

La celeridad media es un escalar cociente entre la distancia recorrida sobre la trayectoria ,Δs ,y el intervalo de tiempo, Δt.

Cando dividimos la distancia que recorremos en un viaje por el tiempo invertido, estamos calculando la celeridad media.

VELOCIDAD INSTANTÁNEA

Observa la siguiente gráfica:

Para el instante t0, el vector de posición es r0, para el instante t1, el vector de posición es r1, y para el instante t2, el vector de posición es r2. Si calculamos las velocidades medias cuanto más próximos estén los instantes más se aproximará la velocidad media a la velocidad instantánea. 

La velocidad instantánea la podemos definir como el vector velocidad media cuado el intervalo de tiempo tiende a cero, esto se conoce también como derivada del vector de posición con respecto al tiempo.

Si medimos las distancias sobre la trayectoria, la celeridad instantánea es celeridad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero:

La celeridad instantánea coincide con el módulo de la velocidad instantánea.

 

ACELERACIÓN MEDIA

Observa la siguiente gráfica:

La aceleración media es un vector cociente entre el vector velocidad, Dv, y el intervalo de tiempo, Dt. Su unidad en el S.I. es el m/s2.

EJERCICIOS PARA PRACTICAR

ACELERACIÓN INSTANTÁNEA

La aceleración instantánea la podemos definir como el vector aceleración media cuado el intervalo de tiempo tiende a cero, esto se conoce también como derivada del vector de posición con respecto al tiempo.

El módulo de la aceleración es:

El vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria pero el vector aceleración es un vector que apunta hacia el interior de la curva que describe el móvil, ya que también da cuenta del cambio de dirección de la velocidad.

EJERCICIOS PARA PRACTICAR

COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN

Podemos asociar a cualquier punto de una trayectoria un sistema de referencia, que se denomina sistema intrínseco a la trayectoria.

La velocidad del móvil y su aceleración los podemos referir a este sistema intrínseco.

Podemos descomponer el vector aceleración en dos componentes, una tangencial a la trayectoria y otra normal, a la trayectoria.

La componente tangencial nos da la variación del módulo de la velocidad

La componente normal nos da la variación de la dirección de la velocidad

EJERCICIOS PARA PRACTICAR

POSICIÓN ANGULAR

En el movimiento circular el móvil describe en su trayectoria una circunferencia. Para su estudio es útil usar un sistema de referencia ligado al centro de la circunferencia, la posición quedará fijada conociendo el radio de curvatura y el ángulo que forma en cada instante.

Podemos representar el vector de posición de la siguiente forma:

Si la posición angular depende del tiempo la podemos representar como una función:

Las unidades angulares se representan en el S.I. en radianes. Un radián es un ángulo cuyo arco equivale al radio.

Recuerda la equivalencia entre grados sexagesimales y radianes:

VELOCIDAD ANGULAR

Si conocemos la posición angular para dos instantes dados podemos definir la velocidad angular media como:

Sus unidades son rad/s, aunque también es frecuente representarla por rpm, revoluciones por minuto, o rms, revoluciones por segundo.

Para una diferencia infinitesimal de tiempo podemos definir la velocidad angular instantánea como:

ACELERACIÓN ANGULAR

Si conocemos la velocidad angular en dos instantes dados, la aceleración angular media será:

Su unidad en el S.I. es el rad/s2.

Para una diferencia infinitesimal de tiempo podemos definir la aceleración angular instantánea como:

La relación entre las magnitudes lineales y angulares es:

EJERCICIOS PARA PRACTICAR

RESUMEN DERIVADAS

En el cálculo de las velocidades y aceleraciones instantáneas necesitas calcular derivadas. Si no las estudiaste ya las estudiarás muy pronto en matemáticas. Te vendrá muy bien este resumen de las principales derivadas que vamos a necesitar.

Derivada de una función constante:

Derivada de una variable:

Regla de la suma:

Regla de la diferencia:

Regla del múltiplo constante:

Regla de la potencia:

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