10. Gravitación

Principal Enunciados

   Andrea Mia Ghez, gaña o premio Nobel de física en 2020, xunto con Roger Penrose, Reinhard Genzel, sobre os seus traballos sobre eses lugares tan singulares como son os buracos negros. É a cuarta muller en recibir o premio Nobel de física na historia. Quixo ser bailarina e astronauta, pero a astronomía axudouna a virar sobre mundos aínda máis afastados, e alcanzar o soño de todo científico, ver recoñecido o seu traballo.

 

DINÁMICA DO MOVEMENTO CIRCULAR

Poucas cousas asómbrannos máis que ver a Lúa chea no medio da noite. Cústanos entender como aí tan queda aparece, noite tras noite, para regalarnos a súa luz prateada. En Galicia dicimos "noites de luar" para referirnos a esas noites nas que o resplandor da Lúa ilumínao todo. Custounos séculos entender o seu movemento, por que non se cae, ou por que non se afasta, pero custaranos a eternidade non admirala en toda a súa beleza.

A Lúa, o Sol, os planetas ou as estrelas suscitan ao home interrogantes desde a antigüidade que neste tema iremos vendo como foron resoltos.

Todos estes corpos tiñan a propiedade de parecer que se movían ao redor da Terra. Por iso imos empezar a recordar o movemento circular uniforme, que xa vimos no tema de movementos. 

Diciamos que un movemento é circular uniforme cando a traxectoria é unha circunferencia e a velocidade angular é constante. Imaxinemos un corpo movéndose sobre unha circunferencia.

Se a velocidade angular é constante é porque a velocidade lineal tamén o é en módulo, pero a súa dirección irá variando.

Esta variación da dirección da velocidade produce unha aceleración que apunta ao centro da circunferencia, é a aceleración normal.

Segundo a primeira lei de Newton se non actúan forzas sobre un corpo, ou está en repouso, ou se move con movemento rectilíneo uniforme. Si a Lúa movésese con movemento rectilíneo uniforme afastaríase cada vez máis da Terra, se non o fai é que debe haber un forza que llo impide, unha forza que curva a súa traxectoria para que se manteña virando sobre nós.

Segundo a segunda lei de Newton se hai unha aceleración, e a aceleración normal o é, debe haber unha forza que produza esa aceleración. A esta forza denomínalla forza centrípeta, pois ten a mesma dirección da aceleración, apuntando ao centro da circunferencia.

O módulo da forza centrípeta deducímolo da segunda lei de Newton. 

A forza centrípeta é o vector da forza resultante de todas as forzas que fan que o corpo describa un movemento circular uniforme. Ten como dirección o radio de curvatura, o sentido é cara ao centro de curvatura e o módulo é o que acabamos de ver.

Si atamos un corpo a unha corda e facémola virar a velocidade, debemos facer unha forza para que o corpo non se escape na dirección tanxencial, a da velocidade lineal, v. Esta forza é a forza centrípeta. Xa sabemos que se hai forza é porque hai unha interacción entre dous corpos, o corpo e a persoa que o move.

O lanzamento de martelo é unha disciplina de atletismo na que se lanza un peso facéndoo virar ao redor do noso corpo, trátase de alcanzar a maior distancia posible, así que a velocidade de saída debe ser máxima e o ángulo adecuado, para iso débese conseguir a maior velocidade angular, a costa dunha maior forza centrípeta.

LEIS DE KEPLER

Entender o problema da gravitación tivo para o home unha primeira dificultade, o punto de referencia. Aparentemente todos os corpos celestes movíanse en torno á Terra. Ben, non todos, había uns corpos chamados polos gregos planetas, que significa errantes, que se movían dunha forma irregular, ás veces avanzaban na súa órbita e outras veces retrocedían, sen que se entendese moi ben por que. 

Os filósofos gregos sitúan á Terra no centro do Cosmos e os demais corpos viran ao redor da mesma en órbitas circulares, recordemos que a circunferencia considerábase unha figura perfecta.

O astrónomo grego Claudio Ptolomeo (100d.C.-170d.C.) propón na súa gran obra, o Almagesto, un modelo geométrico baseado en circunferencias que se moven sobre outras circunferencias, o que se coñece como epicicloides, para explicar o movemento retrógrado dos planetas, con maior ou menor éxito.

O modelo Ptolemaico complicaba sobremanera a explicación das orbitas dos planetas. Non é ata o século XVI, cando un clérigo polaco, Nicolás Copérnico (1473-1543) presenta o seu libro De revolutionibus orbium coelestium (Sobre as revolucións das esferas celestes) que se publicou en 1543 o ano do seu falecemento, no que cambia o paradigma existente colocando ao Sol no centro das orbitas dos planetas incluíndo á Terra. Pásase dun modelo xeocéntrico a un modelo heliocéntrico, un modelo que simplificaba enormemente a explicación das orbitas planetarias.

Nicolás Copérnico (1473-1543)

Aínda que o modelo copernicano simplifica a comprensión do movemento planetario, as órbitas circulares non explicaban ben os datos astronómicos que aos poucos se ían coñecendo. É o matemático alemán Johannes Kepler (1571-1630) o primeiro en propoñer órbitas elípticas para o movemento planetario. O seu enxeño e os datos astronómicos que puido conseguir do astrónomo danés Tycho Brahe (1546-1601) permitíronlle enunciar as que se coñecen desde entón como leis de Kepler.

Johannes Kepler (1571-1630)

Pero que é unha elipse? A elipse é o lugar geométrico dos puntos do plano cuxa suma de distancias a outros dous fixos, chamados focos, é constante.

Se a excentricidade é cero temos unha circunferencia, canto maior sexa a excentricidade máis se diferenciará a elipse dunha circunferencia, maior será a semidistancia focal respecto ao semieixe maior. 

Johannes Kepler deuse conta enseguida que a excentricidade da órbita de Marte non entraba dentro dos erros de medición. Isto creoulle o problema de pensar que no universo non reinaba a perfección que supoñían as órbitas circulares, chegou a pensar que si a Terra non era perfecta, abordelada por constantes guerras, por que ía selo o universo.

  • PRIMERA LEI DE KEPLER

Coñecida como a lei das órbitas elípticas

Os corpos celestes teñen movementos elípticos ao redor do Sol, estando este situado nun dos focos da elipse.

O perihelio é o punto da órbita máis próximo ao Sol. O afelio é o punto da órbita máis afastado do Sol. A distancia r1+ r2 mantense constante en toda a órbita. 

Custoulle moito a Kepler aceptar esta lei, non era un home especialmente relixioso, pero custoulle aceptar que o creador escollese antes a elipse que a perfecta circunferencia para o movemento planetario. Pero os datos experimentais que conseguiu de Tycho Brahe relativos a Marte só se explicaban aceptando as órbitas elípticas.

  • SEGUNDA LEI DE KEPLER

Coñecida como lei das áreas.

O radio que une ao Sol cun planeta varre áreas iguais en intervalos de tempo iguais.

Xa que logo a velocidade do planeta non é constante durante a órbita, é maior nas proximidades do Sol que cando está afastado del.

  • TERCERA LEI DE KEPLER

Coñecida como lei dos períodos.

Os cadrados dos períodos de revolución dos planetas ao redor do Sol son proporcionales aos cubos dos semieixes maiores das súas órbitas.

Xa que logo canto máis afastado estea un planeta do Sol máis tardará en percorrer dita órbita.

Esta lei dalgún xeito indícanos que os movementos planetarios están relacionados, non son independentes uns doutros. Houbo que esperar a Newton para atopar unha explicación.

Universo Mecánico - 21 - As tres leis de Kepler

LEI DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

As Leis de Kepler permítennos entender como se moven os corpos no cosmos, pero non dan unha explicación da causa dese movemento.

Houbo que esperar á figura de Isaac Newton para atopar unha explicación ás órbitas elípticas de Kepler.

Isaac Newton (1642-1727)

Newton propón que os corpos no Universo experimentan forzas de atracción que dependen das súas masas e das distancias ás que se atopan. Estas forzas tanto explican o problema da caída dos corpos como o do movemento planetario. Estas forzas son comúns a todo o Universo, por iso a súa lei leva o nome de Lei de gravitación universal.

A lei de gravitación universal di que dous corpos calqueira, de masas m1 e m2, e separados unha distancia r, experimentan unha forza de atracción mutua que é directamente proporcional ao produto das masas e inversamente proporcional ao cadrado da distancia que separa os seus centros:

 Supoñamos dúas masas separadas una certa distancia:

As dúas experimentan unha forza de atracción F que vén dada pola lei de gravitación universal.

A expresión vectorial desta lei é:

O signo negativo indica que é unha forza de atracción.

G, é unha constante con unidades, chamada constante de gravitación universal. Representa a forza con que se atraen dúas masas dun kilogramo separadas un metro de distancia.

En 1798, Henry Cavendish mediu esta constante usando unha balanza de torsión no seu famoso experimento. Obtendo un valor para G de:

Grazas a este experimento foi posible calcular a masa dos planetas e do Sol.

Observa que esta constante ten un valor moi pequeno, o que indica que só apreciaremos estas forzas cando unha delas sexa o suficientemente grande, como a dun planeta. Entre corpos pequenos a interacción gravitatoria é despreciable en valor.

Universo Mecánico - 8 - A mazá e a Lúa

Exemplo 1: Calcula a distancia que cae cada segundo a Lúa na súa órbita terrestre.

SOLUCIÓN

QuantumFracture: Se o Sol e a Terra se atraen, por que non chocan?

 

SIMULACIÓN: LABORATORIO DE FORZA DE GRAVIDADE, INTRO, en phet.colorado.edu

SIMULACIÓN: LABORATORIO DE FORZA DE GRAVIDADE, en phet.colorado.edu

INTENSIDADE DO CAMPO GRAVITATORIO

As forzas gravitatorias, así como as forzas eléctricas e magnéticas, son forzas a distancia. Para explicar esta acción a distancia recórrese ao concepto de campo. 

O campo gravitatorio é a perturbación que os corpos con masa producen no espazo.

En cada punto do espazo podemos medir o valor da intensidade do campo gravitatorio creado por unha masa M. Para iso colocaremos nese punto unha masa m de proba, e mediremos a forza de atracción que experimenta.

A intensidade do campo gravitatorio creado por unha masa M no punto onde se atopa outra masa m, é o valor da forza gravitatoria por unidade de masa que crea nese punto.

Para calculala dividimos a forza gravitatoria pola masa situada nese punto:

O valor da intensidade do campo gravitatorio nun punto é directamente proporcional á masa que crea o campo, e inversamente proporcional ao cadrado da distancia a ese punto.

As súas unidades son N/kg.

PESO DUN CORPO

Calquera corpo é atraído pola Terra cunha forza que chamamos peso. Pola segunda lei de Newton sabemos que é o produto da súa masa pola aceleración da gravidade.

Pero segundo a lei de gravitación universal esta forza debe ser tamén:

Igualando ambos pesos deducimos que a aceleración da gravidade é:

É a mesma expresión que a que nos dá a intensidade do campo gravitatorio nun punto. Depende só da masa da Terra, MT, e da distancia ao centro da Terra, RT, para un corpo na superficie terrestre. Observamos que non depende da masa do corpo, por iso é polo que todos os corpos caen na superficie da Terra coa mesma aceleración.

Na superficie da terra ten un valor de:

Xa que logo, depende da masa do planeta, noutro planeta a aceleración da gravidade será diferente. Depende tamén da distancia ao centro do planeta, a non ser que esteamos moi separados da superficie da Terra podémola considerar constante.

MOMENTO ANGULAR

Sabemos que as forzas poden producir desprazamentos, pero tamén poden producir xiros. Cando un corpo pode virar sobre un eixe o efecto dunha forza sobre o mesmo pode ser un xiro.

Pensemos nunha porta que a pechamos facendo forza sobre ela. Onde se adoita facer forza, cerca ou lonxe do eixe de xiro? Por experiencia sabemos que é máis efectivo facer forza lonxe do eixe de xiro. Si empuxamos a porta preto do eixe de xiro teremos que facer moita máis forza. Xa que logo o efecto que producimos non só depende da forza que fagamos senón da distancia ao eixe na que empuxemos. Isto medímolo cunha magnitude que se chama momento dunha forza.

O momento dunha forza M, defínese como o produto vectorial do vector de posición r, e o vector forza F.

O momento dunha forza é un vector:

 O módulo é:

Onde α, é o ángulo que forman a forza e o vector de posición. As súas unidades son N·m. 

A dirección é perpendicular ao plano que forman os vectores r e F.

O sentido é o de avance do parafuso para virar de r a F polo camiño máis curto. Pódese visualizar tamén coa regra da man dereita.

O momento angular é unha magnitude similar ao momento dunha forza, basta substituír o vector forza F polo vector cantidade de movemento P. Esta magnitude vainos a aparecer sempre que teñamos un corpo movéndose a certa velocidade ao redor dun eixe de xiro. 

O momento angular L, defínese como o produto vectorial do vector de posición r, e o vector cantidade de movemento P.

O momento angular é un vector:

 O módulo é:

donde α, é o ángulo que forman a cantidade de movemento e o vector de posición. As súas unidades son kg·m2·s-1.

A dirección é perpendicular ao plano que forman os vectores r e P.

O sentido é o de avance do parafuso para virar de r a P polo camiño máis curto.

O momento angular será importante para explicar as Leis de Kepler, pero tamén aparece en numerosas experiencias da vida diaria, como: os xiros dos patinadores, os saltos dos ximnastas, os movementos sobre cadeiras xiratorias, ou en xogos como a buxaina. 

CONSERVACIÓN DO MOMENTO ANGULAR

No tema anterior vimos que a ecuación fundamental da dinámica ou Segunda lei de Newton podiámola escribir como:

Se calculamos o momento da forza resultante respecto do eixe de xiro:

Atopamos unha expresión que se coñece como ecuación fundamental da dinámica de rotación:

No caso de forzas centrais, a forza e o vector de posición teñen a mesma dirección, o ángulo será de 0º e o seu seno será igual a cero, xa que logo quédanos que:

Neste caso:

Ou o que é o mesmo, o momento angular consérvase, é constante. Isto constitúe a Lei de conservación do momento angular. É unha das tres leis de conservación da física, xunto coa lei conservación da cantidade de movemento e a lei de conservación da enerxía.

Que consecuencias importantes ten esta lei?:

  • Se se conserva a dirección do momento angular a traxectoria do corpo sempre está no mesmo plano.
  • Se se conserva o sentido do momento angular o corpo sempre vira no mesmo sentido.
  • Se se conserva o módulo do momento angular o vector de posición varre áreas iguais en tempos iguais. Se diminúe o vector de posición aumentará a velocidade do corpo. 

XUSTIFICACIÓN DAS LEIS DE KEPLER

Partindo de que a forza gravitatoria é unha forza central e de que se conserva o momento angular na órbita, podemos xustificar as Leis de Kepler.
  • Primeira lei de Kepler.

Se se conserva o momento angular tamén se conserva a súa dirección. Como esta é perpendicular ao vector de posición e á velocidade dedúcese que a órbita debe de ser plana. Pero tamén vimos que se conserva o sentido do momento angular, iso indica que a órbita sempre se debe percorrer no mesmo sentido de xiro.

  • Segunda lei de Kepler.

Imaxinemos un planeta orbitando ao redor do Sol.

Se o planeta móvese entre os puntos P e P':

Sabendo que o arco Δs, é o ángulo polo radio, r·Δφ.

A área varrida polo vector de posición é un triángulo mixtilíneo:

Despexamos o ángulo:

Se o sustituimos na expresión do momento angular:

A variación do área co tempo coñécese como velocidade areolar:

Como se conserva o momento angular esta velocidade areolar é constante. Que é o que di a segunda lei de Kepler, várrense áreas iguais en tempos iguais.

Supoñamos un planeta que pasa polo punto 1 máis próximo ao Sol, chamado perihelio, e polo punto 2 máis afastado do Sol, chamado afelio.

O momento angular é o mesmo nos dous puntos, pois se conserva:

Neses puntos o vector de posición e a velocidade son perpendiculares, xa que logo:

Eliminando a masa:

Xa que logo a maior distancia ao Sol menor velocidade, e viceversa.

  • Terceira lei de Kepler.

Supoñamos un planeta orbitando ao Sol, ou un satélite orbitando a un planeta:

A forza gravitatoria coincide coa forza centrípeta que experimenta a masa m.

Dando valores a istas forzas:

Simplificando a expresión:

Agora calculemos a velocidad do planeta:

Sendo R o radio da órbita e T o período de revolución.

Elevando ao cadrado a expresión:

Sustituíndo na expresión anterior onde aparecía v2:

Simplificando e despexando T2:

Obtemos a expresión da terceira lei de Kepler. Recorda que partimos da expresión da lei de gravitación universal.

A constante que relaciona o cadrado dos períodos de revolución co cubo do radio das órbitas depende da masa do astro central, pero non da masa do astro que orbita.

MOVEMENTO EN ÓRBITAS

O movemento de planetas e satélites xa o explicamos a partir da lei de gravitación universal de Newton.

Para un corpo que orbita a un planeta:

Sabendo que a forza de atracción gravitatoria é igual á forza centrípeta, podemos calcular a velocidade orbital.

A velocidade orbital é polo tanto:

Vemos que depende de:

  • A masa do corpo central
  • A distancia entre os seus centros de masa

Pero non depende da masa do corpo que orbita.

Tamén é importante coñecer o tempo que dura a órbita.

Sabendo que a velocidade do planeta é:

O período orbital é:

Da terceira lei de Kepler deducimos que tamén é:

Vemos que depende tamén de:

  • A masa do corpo central
  • A distancia entre os seus centros de masa

Pero non depende da masa do corpo que orbita.

Podemos experimentar con esta simulación:

SIMULACIÓN: GRAVIDADE E ÓRBITAS, en phet.colorado.edu

Como resumo deixovos este capítulo da extraordinaria serie Cosmos, escrita e presentada por Carl Sagan, que alá poloss años oitenta, do pasado século, nos convertíu a moitos en namorados da astronomía.

Principal Enunciados
WWW.ALONSOFORMULA.COM
Formulación Inorgánica  Formulación Orgánica 
Formulación Inorgánica  Formulación Orgánica 
Formulació Inorgánica  Formulació Orgánica 
Ezorganikoaren Formulazioa  Nomenclature of Inorganic Q. 
Física y Química de ESO  Física e Química de ESO 
FQ de 1º de Bachillerato  FQ de 1º de Bacharelato 
Química de 2º de Bachillerato  Prácticas de Química