10. Gravitación

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    Andrea Mia Ghez, gana el premio Nobel de física en 2020, junto con Roger Penrose, Reinhard Genzel, sobre sus trabajos sobre esos lugares tan singulares como son los agujeros negros. Es la cuarta mujer en recibir el premio Nobel de física en la historia. Quiso ser bailarina y astronauta, pero la astronomía la ayudó a girar sobre mundos aún más lejanos, y alcanzar el sueño de todo científico, ver reconocido su trabajo.

 

DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR

Pocas cosas nos asombran más que ver la Luna llena en medio de la noche. Nos cuesta entender cómo ahí tan quieta aparece, noche tras noche, para regalarnos su luz plateada. En Galicia decimos "noites de luar" para referirnos a esas noches en las que el resplandor de la Luna lo ilumina todo. Nos costó siglos entender su movimiento, por qué no se cae, o por qué no se aleja, pero nos costará la eternidad no admirarla en toda su belleza.

La Luna, el Sol, los planetas o las estrellas plantean al hombre interrogantes desde la antigüedad que en este tema iremos viendo como fueron resueltos.

Todos estos cuerpos tenían la propiedad de parecer que se movían alrededor de la Tierra. Por eso vamos a empezar a recordar el movimiento circular uniforme, que ya vimos en el tema de movimientos.  

Decíamos que un movimiento es circular uniforme cuando la trayectoria es una circunferencia y la velocidad angular es constante. Imaginemos un cuerpo moviéndose sobre una circunferencia.

Si la velocidad angular es constante es porque la velocidad lineal también lo es en módulo, pero su dirección irá variando.

Esta variación de la dirección de la velocidad produce una aceleración que apunta al centro de la circunferencia, es la aceleración normal.

Según la primera ley de Newton si no actúan fuerzas sobre un cuerpo, o está en reposo, o se mueve con movimiento rectilíneo uniforme. Si la Luna se moviera con movimiento rectilíneo uniforme se alejaría cada vez más de la Tierra, si no lo hace es que debe haber un fuerza que se lo impide, una fuerza que curva su trayectoria para que se mantenga girando sobre nosotros.

Según la segunda ley de Newton si hay una aceleración, y la aceleración normal lo es,  debe haber una fuerza que produzca esa aceleración. A esta fuerza se la denomina fuerza centrípeta, pues tiene la misma dirección de la aceleración, apuntando al centro de la circunferencia.

El módulo de la fuerza centrípeta lo deducimos de la segunda ley de Newton. 

La fuerza centrípeta es el vector de la fuerza resultante de todas las fuerzas que hacen que el cuerpo describa un movimiento circular uniforme. Tiene como dirección el radio de curvatura, el sentido es hacia el centro de curvatura y el módulo es el que acabamos de ver.

Si atamos un cuerpo a una cuerda y lo hacemos girar a velocidad, debemos hacer una fuerza para que el cuerpo no se escape en la dirección tangencial, la de la velocidad lineal, v. Esta fuerza es la fuerza centrípeta. Ya sabemos que si hay fuerza es porque hay una interacción entre dos cuerpos, el cuerpo y la persona que lo mueve.

El lanzamiento de martillo es una disciplina de atletismo en la que se lanza un peso haciéndolo girar alrededor de nuestro cuerpo, se trata de alcanzar la mayor distancia posible, así que la velocidad de salida debe ser máxima y el ángulo adecuado, para ello se debe conseguir la mayor velocidad angular, a costa de una mayor fuerza centrípeta.

LEYES DE KEPLER

Entender el problema de la gravitación tuvo para el hombre una primera dificultad, el punto de referencia. Aparentemente todos los cuerpos celestes se movían en torno a la Tierra. Bueno, no todos, había unos cuerpos llamados por los griegos planetas, que significa errantes, que se movían de una forma irregular, a veces avanzaban en su órbita y otras veces retrocedían, sin que se entendiera muy bien por qué. 

Los filósofos griegos sitúan a la Tierra en el centro del Cosmos y los demás cuerpos giran alrededor de la misma en órbitas circulares, recordemos que la circunferencia se consideraba una figura perfecta.

El astrónomo griego Claudio Ptolomeo (100d.C.-170d.C.) propone en su gran obra, el Almagesto, un modelo geométrico basado en circunferencias que se mueven sobre otras circunferencias, lo que se conoce como epicicloides, para explicar el movimiento retrógrado de los planetas, con mayor o menor éxito.

El modelo Ptolemaico complicaba sobremanera la explicación de las orbitas de los planetas. No es hasta el siglo XVI, cuando un clérigo polaco, Nicolás Copérnico (1473-1543) presenta su libro De revolutionibus orbium coelestium (Sobre las revoluciones de las esferas celestes) que se publicó en 1543 el año de su fallecimiento, en el que cambia el paradigma existente colocando al Sol en el centro de las orbitas de los planetas incluyendo a la Tierra. Se pasa de un modelo geocéntrico a un modelo heliocéntrico, un modelo que simplificaba enormemente la explicación de las orbitas planetarias.

Nicolás Copérnico (1473-1543)

Aunque el modelo copernicano simplifica la comprensión del movimiento planetario, las órbitas circulares no explicaban bien los datos astronómicos que poco a poco se iban conociendo. Es el matemático alemán Johannes Kepler (1571-1630) el primero en proponer órbitas elípticas para el movimiento planetario. Su ingenio y los datos astronómicos que pudo conseguir del astrónomo danés Tycho Brahe (1546-1601) le permitieron enunciar las que se conocen desde entonces como leyes de Kepler.

Johannes Kepler (1571-1630)

Pero ¿qué es una elipse? La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a otros dos fijos, llamados focos, es constante.

Si la excentricidad es cero tenemos una circunferencia, cuanto mayor sea la excentricidad más se diferenciará la elipse de una circunferencia, mayor será la semidistancia focal respecto al semieje mayor. 

Johannes Kepler se dio cuenta enseguida que la excentricidad de la órbita de Marte no entraba dentro de los errores de medición. Esto le creó el problema de pensar que en el universo no reinaba la perfección que suponían las órbitas circulares, llegó a pensar que si la Tierra no era perfecta, asolada por constantes guerras, por qué iba a serlo el universo.

  • PRIMERA LEY DE KEPLER

Conocida como la ley de las órbitas elípticas

Los cuerpos celestes tienen movimientos elípticos alrededor del Sol, estando éste situado en uno de los focos de la elipse.

El perihelio es el punto de la órbita más próximo al Sol. El afelio es el punto de la órbita más alejado del Sol. La distancia r1+r2 se mantiene constante en toda la órbita. 

Le costó mucho a Kepler aceptar esta ley, no era un hombre especialmente religioso, pero le costó aceptar que el creador hubiera escogido antes la elipse que la perfecta circunferencia para el movimiento planetario. Pero los datos experimentales que consiguió de Tycho Brahe relativos a Marte sólo se explicaban aceptando las órbitas elípticas.

  • SEGUNDA LEY DE KEPLER

Conocida como ley de las áreas.

El radio que une al Sol con un planeta barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales.

Por tanto la velocidad del planeta no es constante durante la órbita, es mayor en las proximidades del Sol que cuando está alejado de él.

  • TERCERA LEY DE KEPLER

Conocida como ley de los períodos.

Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas.

Por tanto cuanto más alejado esté un planeta del Sol más tardará en recorrer dicha órbita.

Esta ley de alguna manera nos indica que los movimientos planetarios están relacionados, no son independientes unos de otros. Hubo que esperar a Newton para encontrar una explicación. 

Universo Mecánico - 21 - Las tres leyes de Kepler

LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

Las Leyes de Kepler nos permiten entender como se mueven los cuerpos en el cosmos, pero no dan una explicación de la causa de ese movimiento. 

Hubo que esperar a la figura de Isaac Newton para encontrar una explicación a las órbitas elípticas de Kepler.

Isaac Newton (1642-1727)

Newton propone que los cuerpos en el Universo experimentan fuerzas de atracción que dependen de sus masas y de las distancias a las que se encuentran. Estas fuerzas tanto explican el problema de la caída de los cuerpos como el del movimiento planetario. Estas fuerzas son comunes a todo el Universo, por eso su ley lleva el nombre de Ley de gravitación universal.

La ley de gravitación universal dice que dos cuerpos cualesquiera, de masas m1 y m2, y separados una distancia r, experimentan una fuerza de atracción mutua que es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros:

 Supongamos dos masas separadas una cierta distancia:

Las dos experimentan una fuerza de atracción F que viene dada por la ley de gravitación universal.

La expresión vectorial de esta ley es:

El signo negativo indica que es una fuerza de atracción.

G, es una constante con unidades, llamada constante de gravitación universal. Representa la fuerza con que se atraen dos masas de un kilogramo separadas un metro de distancia.

En 1798, Henry Cavendish midió esta constante usando una balanza de torsión en su famoso experimento. Obteniendo un valor para G de:

Gracias a este experimento fue posible calcular la masa de los planetas y de el Sol.

Observa que esta constante tiene un valor muy pequeño, lo que indica que sólo apreciaremos estas fuerzas cuando una de ellas sea lo suficientemente grande, como la de un planeta. Entre cuerpos pequeños la interacción gravitatoria es despreciable en valor.

Universo Mecánico - 8 - La manzana y la Luna

Ejemplo 1: Calcula la distancia que cae cada segundo la Luna en su órbita terrestre.

SOLUCIÓN

QuantumFracture: Si el Sol y la Tierra se atraen, ¿por qué no chocan?

SIMULACIÓN: LABORATORIO DE FUERZA DE GRAVEDAD, INTRO, en phet.colorado.edu

SIMULACIÓN: LABORATORIO DE FUERZA DE GRAVEDAD, en phet.colorado.edu

INTENSIDAD DEL CAMPO GRAVITATORIO

Las fuerzas gravitatorias, así como las fuerzas eléctricas y magnéticas, son fuerzas a distancia. Para explicar esta acción a distancia se recurre al concepto de campo. 

El campo gravitatorio es la perturbación que los cuerpos con masa producen en el espacio.

En cada punto del espacio podemos medir el valor de la intensidad del campo gravitatorio creado por una masa M. Para ello colocaremos en ese punto una masa m de prueba, y mediremos la fuerza de atracción que experimenta.

La intensidad del campo gravitatorio creado por una masa M en el punto donde se encuentra otra masa m, es el valor de la fuerza gravitatoria por unidad de masa que crea en ese punto.

Para calcularla dividimos la fuerza gravitatoria por la masa situada en ese punto:

El valor de la intensidad del campo gravitatorio en un punto es directamente proporcional a la masa que crea el campo, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al punto.

Sus unidades son N/kg.

PESO DE UN CUERPO

Cualquier cuerpo es atraído por la Tierra con una fuerza que llamamos peso. Por la segunda ley de Newton sabemos que es el producto de su masa por la aceleración de la gravedad.

Pero según la ley de gravitación universal esta fuerza debe ser también:

Igualando ambos pesos deducimos que la aceleración de la gravedad es:

Es la misma expresión que la que nos da la intensidad del campo gravitatorio en un punto. Depende sólo de la masa de la Tierra, MT, y de la distancia al centro de la Tierra, RT, para un cuerpo en la superficie terrestre. Observamos que no depende de la masa del cuerpo, de ahí que todos los cuerpos caen en la superficie de la Tierra con la misma aceleración.

En la superficie de la tierra tiene un valor de:

Por tanto, depende de la masa del planeta, en otro planeta la aceleración de la gravedad será diferente. Depende también de la distancia al centro del planeta, a no ser que estemos muy separados de la superficie de la Tierra la podemos considerar constante.

MOMENTO ANGULAR

Sabemos que las fuerzas pueden producir desplazamientos, pero también pueden producir giros. Cuando un cuerpo puede girar sobre un eje el efecto de una fuerza sobre el mismo puede ser un giro.

Pensemos en una puerta que la cerramos haciendo fuerza sobre ella. ¿Dónde se suele hacer fuerza, cerca o lejos del eje de giro? Por experiencia sabemos que es más efectivo hacer fuerza lejos del eje de giro. Si empujamos la puerta cerca del eje de giro tendremos que hacer mucha más fuerza. Por tanto el efecto que producimos no sólo depende de la fuerza que hagamos sino de la distancia al eje en la que empujemos. Esto lo medimos con una magnitud que se llama momento de una fuerza.

El momento de una fuerza M, se define como el producto vectorial del vector de posición r, y el vector fuerza F.

El momento de una fuerza es un vector:

 El módulo es:

donde α, es el ángulo que forman la fuerza y el vector de posición. Sus unidades son N·m.

La dirección es perpendicular al plano que forman los vectores r y F.

El sentido es el de avance del tornillo para girar de r a F por el camino más corto. Se puede visualizar también con la regla de la mano derecha.

El momento angular es una magnitud similar al momento de una fuerza, basta sustituir el vector fuerza F por el vector cantidad de movimiento P. Esta magnitud nos va a aparecer siempre que tengamos un cuerpo moviéndose a cierta velocidad alrededor de un eje de giro. 

El momento angular L, se define como el producto vectorial del vector de posición r, y el vector cantidad de movimiento P.

El momento angular es un vector:

 El módulo es:

donde α, es el ángulo que forman la cantidad de movimiento y el vector de posición. Sus unidades son kg·m2·s-1.

La dirección es perpendicular al plano que forman los vectores r y P.

El sentido es el de avance del tornillo para girar de r a P por el camino más corto.

El momento angular será importante para explicar las Leyes de Kepler, pero también aparece en numerosas experiencias de la vida diaria, como: los giros de los patinadores, los saltos de los gimnastas, los movimientos sobre sillas giratorias, o en juegos como la peonza. 

CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR

En el tema anterior vimos que la ecuación fundamental de la dinámica o Segunda ley de Newton la podíamos escribir como:

Si calculamos el momento de la fuerza resultante respecto del eje de giro:

Encontramos una expresión que se conoce como ecuación fundamental de la dinámica de rotación:

En el caso de fuerzas centrales, la fuerza y el vector de posición tienen la misma dirección, el ángulo será de 0º y su seno será igual a cero, por tanto nos queda que:

En este caso:

O lo que es lo mismo, el momento angular se conserva, es constante. Esto constituye a Ley de conservación del momento angular. Es una de las tres leyes de conservación de la física, junto con la ley conservación de la cantidad de movimiento y la ley de conservación de la energía.

¿Qué consecuencias importantes tiene esta ley?:

  • Si se conserva la dirección del momento angular la trayectoria del cuerpo siempre está en el mismo plano.
  • Si se conserva el sentido del momento angular el cuerpo siempre gira en el mismo sentido.
  • Si se conserva el módulo del momento angular el vector de posición barre áreas iguales en tiempos iguales. Si disminuye el vector de posición aumentará la velocidad del cuerpo. 

JUSTIFICACIÓN DE LAS LEYES DE KEPLER

Partiendo de que la fuerza gravitatoria es una fuerza central y de que se conserva el momento angular en la órbita, podemos justificar las Leyes de Kepler.
  • Primera ley de Kepler.

Si se conserva el momento angular también se conserva su dirección. Como ésta es perpendicular al vector de posición y a la velocidad se deduce que la órbita debe de ser plana. Pero también vimos que se conserva el sentido del momento angular, eso indica que la órbita siempre se debe recorrer en el mismo sentido de giro.

  • Segunda ley de Kepler.

Imaginemos un planeta orbitando alrededor del Sol.

Si el planeta se mueve entre los puntos P y P':

Sabiendo que el arco Δs, es el ángulo por el radio, r·Δφ.

El área barrida por el vector de posición es un triángulo mixtilíneo:

Despejamos el ángulo:

Si lo sustituimos en la expresión del momento angular:

La variación del área con el tiempo se conoce como velocidad areolar:

Como se conserva el momento angular esta velocidad areolar es constante. Que es lo que dice la segunda ley de Kepler, se barren áreas iguales en tiempos iguales.

Supongamos un planeta que pasa por el punto 1 más próximo al Sol, llamado perihelio, y por el punto 2 más alejado del Sol, llamado afelio

El momento angular es el mismo en los dos puntos, pues se conserva:

En esos puntos el vector de posición y la velocidad son perpendiculares, por tanto:

Eliminando la masa:

Por tanto a mayor distancia al Sol menor velocidad, y viceversa.

  • Tercera ley de Kepler.

Supongamos un planeta orbitando al Sol, o un satélite orbitando a un planeta:

La fuerza gravitatoria coincide con la fuerza centrípeta que experimenta la masa m.

Dando valores a estas fuerzas:

Simplificando la expresión:

Ahora calculemos la velocidad del planeta:

Siendo R el radio de la órbita y T el período de revolución.

Elevando al cuadrado la expresión:

Sustituyendo en la expresión anterior donde aparecía v2:

Simplificando y despejando T2:

Obtenemos la expresión de la tercera ley de Kepler. Recuerda que partimos de la expresión de la ley de gravitación universal.

La constante que relaciona el cuadrado de los períodos de revolución con el cubo del radio de las órbitas depende de la masa del astro central, pero no de la masa del astro que orbita.

MOVIMIENTO EN ÓRBITAS

El movimiento de planetas y satélites ya lo explicamos a partir de la ley de gravitación universal de Newton.

Para un cuerpo que orbita a un planeta:

Sabiendo que la fuerza de atracción gravitatoria es igual a la fuerza centrípeta, podemos calcular la velocidad orbital.

La velocidad orbital es por tanto:

Vemos que depende de:

  • La masa del cuerpo central
  • La distancia entre sus centros de masa

Pero no depende de la masa del cuerpo que orbita.

También es importante conocer el tiempo que dura la órbita.

Sabiendo que la velocidad del planeta es:

El período orbital es:

De la tercera ley de Kepler deducimos que también es:

Vemos que depende también de:

  • La masa del cuerpo central
  • La distancia entre sus centros de masa

Pero no depende de la masa del cuerpo que orbita.

Podemos experimentar con esta simulación:

SIMULACIÓN: GRAVEDAD Y ÓRBITAS, en phet.colorado.edu

Como resumen os dejo este capítulo de la extraordinaria serie Cosmos, escrita y presentada por Carl Sagan, que allá en los años ochenta, del pasado siglo, nos convirtió a muchos en enamorados de la astronomía.

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