8. Movementos

Principal MRU Alcances MRUA - v t a MRUA - x t a MRUA - x v a Tiro parabólico Enunciados

TIPOS DE MOVEMENTOS

Imos aplicar os coñecementos adquiridos no tema anterior ao estudo de movementos concretos. Os movementos poden ser moi complexos, Pero aínda nestes casos podémolos descompoñer en movementos máis sinxelos.

Observa este vídeo, é a carreira máis rápida da historia, nela Usain Bolt bateu o récord mundial de 100m lisos, era o 16 de agosto de 2009 nos campionatos mundiais de atletismo en Berlín.

En calquera movemento complexo podemos atopar tramos que pertencen a algún destes movementos máis sinxelos:

  • Movemento rectilíneo uniforme (MRU).
  • Movemento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA).
  • Movemento circular uniforme (MCU).
  • Movemento circular uniformemente acelerado (MCUA).
  • Movemento harmónico simple (MAS).

MOVEMENTO RECTILÍNEO UNIFORME

Movemento rectilíneo uniforme (MRU) é aquel que ten o vector velocidade constante. O módulo, a dirección e o sentido do vector velocidade son constantes, polo tanto, a súa traxectoria será recta.

Neste movemento só temos unha ecuación, que relaciona: posicións, inicial e final, instantes, inicial e final, e a velocidade. Esta ecuación é semellante á da velocidade media, xa que si a velocidade é constante coincide tamén coa velocidade media. A ecuación vectorial é:

Nesta ecuación están todas as variables a ter en conta neste movemento. Temos xa que logo unha soa ecuación.

A expresión que nos dá a posición en función do tempo é a ecuación do movemento. Xa que se lle damos valores ao tempo obtemos os valores das posicións por onde pasa o móbil.

Como a traxectoria é unha recta podemos traballar con escalares sobre o eixe X.

A ecuación do movemento con valores escalares é:

Fíxate que só temos unha ecuación, na que debemos saber despexar calquera das variables. Para a resolución de problemas será moi útil facer un debuxo esquemático onde colocar os datos, distinguindo ben que datos son iniciais e que datos son finais.

GRÁFICAS DO M.R.U.

A gráfica posición-tempo ou gráfica x-t

É unha función lineal. A medida que pasa o tempo a posición varía dunha forma proporcional. En tempos iguais percórrense distancias iguais. Fíxate como nesta gráfica cada 5 segundos percórrense 20 metros. A pendente é constante, como a velocidade.

Se tomamos un intervalo calquera, por exemplo, de 5 a 15 segundos, o triángulo formado pola variación da distancia, a variación do tempo e a gráfica permítenos calcular a velocidade. A altura, ou variación da distancia, Δx=x−xo=60m−20m=40m, entre a base, ou variación do tempo, Δt=t−to=15s−5s=10s, dános a pendente, 4m/s, que é a velocidade. v=Δx/Δt=40m/10s=4m/s

A gráfica velocidade-tempo ou gráfica v-t

É unha función constante. Para calquera instante a velocidade é 4m/s.

PROBLEMAS DE ALCANCES E CRUCES NO M.R.U.

Hai dous tipos de problemas: de alcances, se os dous móbiles seguen o mesmo sentido, de cruces cando os dous móbiles teñen sentidos contrarios.

O primeiro é facer o esquema cos datos do problema. Escolle unha orixe de posicións e unha orixe de tempos. Isto é moi importante. Estas orixes son arbitrarias, pero tes que telas claras xa que todos os tempos débense de contar a partir da orixe de tempos, e todas as posicións débense de contar a partir da orixe de posicións que escollas.

Ten en conta, tamén, o signo das velocidades. Se teñen distinto sentido, teñen distinto signo.

Substitúe os datos na ecuación do movemento para cada móbil. x = xo + v (t − to)

Tes dúas ecuacións, con dúas incógnitas, que son normalmente, o instante en que se alcanzan ou cruzan, t, e a posición na que o fan, x.

Esquema para un problema de alcance:

 

Gráfica para un problema de alcance:

Móbil azul: Cal é a súa posición inicial, xo? xo=0 Cal é o instante inicial, to? to=0 Cal é a súa velocidade, vazul? vazul=4m/s

Móbil vermello: Cal é a súa posición inicial, xo? xo=30m Cal é o instante inicial, to? to=0 Cal é a súa velocidade, vvermello? vvermello=2m/s

x = xo + v (t − to)

Móbil azul x= 0 + 4 (t − 0) = 4 t

Móbil vermello x= 30 + 2 (t − 0) = 30 + 2 t

Resolvemos o sistema de dúas ecuacións con dúas incógnitas

4 t = 30 + 2 t        4 t - 2t = 30       2t = 30       t = 30/2 = 15s (é o instante en que se alcanzan, medido dende que saen os móbiles)

Con este valor de t substituímos en calquera das ecuacións: x= 4 t = 4 m/s · 15s = 60m (é a posición á que se alcanzan, medida dende a orixe de coordenadas)

Esquema para un problema de cruce:

 

Gráfica para un problema de cruce:

Móvil azul: Cal é a súa posición inicial, xo? xo=70m Cal é o instante inicial, to? to=0 Cal é a súa velocidade, vazul? vazul=−5m/s (atención é negativa xa que se acerca ao orixe de coordenadas)

Móvil vermello: Cal é a súa posición inicial, xo? xo=10m Cal é o instante inicial, to? to=0 Cal é a súa velocidade, vvermello? vvermello=4m/s

x = xo + v (t − to)

Móvil azul x= 70 − 5 (t − 0) = 70 − 5 t

Móvil vermello x= 10 + 4 (t − 0) = 10 + 4 t

Resolvemos o sistema de dúas ecuacións con dúas incógnitas

10 + 4 t = 70 - 5 t       4 t + 5t = 70 - 10         9t = 60       t = 60/9 = 6,67s (é o instante en que se alcanzan, medido dende que saen os móbiles)

Con este valor de t substituímos en calquera das ecuacións: x= 10 + 4 t = 10m + 4 m/s · 6,67s = 36,68m (é a posición á que se alcanzan, medida dende a orixe de coordenadas)

EXERCICIOS PARA PRACTICAR

MOVEMENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

Movemento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) é aquel que ten o vector aceleración constante e a traxectoria é unha liña recta.

Para describir este movemento necesitamos só dúas ecuacións. A ecuación da aceleración, que relaciona aceleración, velocidades e tempo, e a ecuación da posición que relaciona posicións, velocidade inicial, aceleración e tempos.

Ecuación da aceleración:

Ecuación da posición:

Destas dúas podemos deducir outra ecuación moi práctica que relaciona velocidades, aceleración e posicións. Dedúcese despexando o tempo na ecuación da aceleración e substituíndoo na ecuación da posición.

GRÁFICAS DO M.R.U.A.

As gráficas v-t representan as velocidades en ordenadas e os tempos en abscisas.

A pendente desta gráfica é a aceleración, se a pendente é constante deducimos que a aceleración é constante. Se a pendente é positiva o móbil aumenta a velocidade, se é negativa diminúe a velocidade.

A área baixo esta gráfica dános a distancia percorrida polo móbil.

A gráfica x-t é unha parábola, a forma curva da mesma indica que varía a pendente, varía a velocidade, dado que é un movemento con aceleración.

SIMULACIÓN DE EDUCAPLUS: GRÁFICAS MOVIMIENTOS

EXERCICIOS PARA PRACTICAR

MOVEMENTO VERTICAL

Un exemplo de MRUA é o movemento vertical. Neste movemento podemos considerar o movemento de caída libre, o movemento de lanzamento vertical cara abaixo ou o movemento de lanzamento vertical cara arriba. Nestes movementos a aceleración é a aceleración da gravidade, g = 9,8m/s2, que podemos considerar constante na superficie da Terra.

Debemos definir nestes problemas o sistema de referencia. Podemos escoller calquera punto como orixe do sistema de referencia e calquera sentido como positivo ou negativo, pero isto vai condicionar o valor das velocidades, distancias e aceleración.

Pode ser moi útil escoller como orixe do sistema de referencia o punto máis baixo que alcanza o móbil, como o chan. O eixe vertical será o eixe de alturas. Por encima da orixe temos alturas positivas e por baixo da orixe alturas negativas. As velocidades cara arriba son positivas, pois aumentan as posicións, e as velocidades cara abaixo son negativas, pois diminúen as posicións. A aceleración ten sentido vertical cara abaixo, pois aumentan neste sentido as velocidades, xa que logo a aceleración terá signo negativo.

CONVENIO DE SIGNOS

Nos problemas de movementos xa dixemos o útiles que son os esquemas para incluír os datos. Estes esquemas dannos unha visión máis intuitiva dos problemas, sérvennos para entendelos mellor.

Da mesma forma é importante ter un criterio de signos claro. Tanto posicións como velocidades e aceleraciones poden ser positivas ou negativas, debemos saber distinguilas en cada caso. 

As posicións representámolas nun eixe. A partir dunha orixe, podémonos mover nun sentido ou en sentido contrario. Arbitrariamente escollemos un sentido como positivo e o contrario como negativo.

As velocidades poden ser positivas ou negativas. Tendo en conta a ecuación da velocidade, as velocidades que fagan afastarse o móbil da orixe de coordenadas serán positivas e as velocidades que fagan achegarse o móbil á orixe de coordenadas serán negativas. 

As aceleracións tamén poden ser positivas ou negativas. Tendo en conta a ecuación da aceleración, as aceleracións serán positivas si aumenta a velocidade e serán negativas se diminúe a velocidade.

Algúns casos podémolos representar neste esquema para movementos horizontales e verticais.

SIMULACIÓN DE EDUCAPLUS: CAIDA LIBRE, GRÁFICAS

EXERCICIOS PARA PRACTICAR

COMPOSICIÓN DE MOVEMENTOS

Hai movementos que podémolos explicar como compostos de dous movementos sinxelos, por exemplo a composición de dous MRU perpendiculares ou o movemento parabólico.

A posición e velocidade en cada punto será a resultante desas magnitudes en cada un dos movementos. Por iso debemos ter moi claro cales son eses movementos que se compoñen xa que cada un terá as súas respectivas ecuacións.

Composición de dous MRU perpendiculares:

Dáse por exemplo cando unha barca cruza un río con corrente constante. Si a barca desprázase perpendicularmente á dirección da corrente con velocidade constante, a posición da barca e a súa velocidade calcularase a través da composición de ambos movementos.

vx é a velocidade da corrente e vy a velocidade perpendicular da barca. A velocidade v calculámola en función das compoñentes vx e vy.

O tempo t que tarda a barca en cruzar o río calculámolo a través do movemento sobre o eixe Y xa que coñecemos o ancho do río.

Este mesmo tempo permítenos calcular a coordenada x, e con esta a distancia r que percorre a barca para cruzar o río.

SIMULACIÓN DE EDUCAPLUS: CRUZAR UN RÍO

Movemento parabólico:

Este movemento dáse cando lanzamos un corpo cunha dirección que non sexa vertical. En vertical o movemento é uniformemente acelerado e en horizontal é un movemento uniforme.

As posicións e velocidades horizontales calculámolas a través das ecuacións do MRU, e as posicións e velocidades verticais calculámolas a través das ecuacións do MRUA. Este movemento ten unha aceleración que é g = −9,8m/s2.

Para calcular o tempo de voo utilizamos o movemento vertical uniformemente acelerado, sabendo que cando chega ao chan y = 0.

Para calcular o alcance utilizamos o tempo de voo no movemento horizontal uniforme.

Para calcular a altura máxima, ymax, utilizamos o movemento vertical uniformemente acelerado, sabendo que na altura máxima vy = 0.

SIMULACIÓN UNIVERSIDADE DE COLORADO: MOVEMENTO DUN PROXECTIL

SIMULACIÓN DE EDUCAPLUS: TIRO PARABÓLICO

EXERCICIOS PARA PRACTICAR

MOVEMENTO CIRCULAR UNIFORME

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU): un movemento é circular uniforme cando a traxectoria é unha circunferencia e a velocidade angular é constante.

Para describir este movemento podemos utilizar a distancia sobre o arco ou os ángulos que percorre o móbil. Os ángulos podémolos medir en graos sexaxesimais ou en radiáns. 

Un radián é un ángulo cun arco equivalente ao radio.

A cantos radiáns equivale a circunferencia completa? Lembra esta equivalencia.

Neste movemento podemos utilizar dúas fórmulas para calcular a velocidade, unha é a velocidade lineal en función do arco percorrido e outra é a velocidade angular en función do ángulo percorrido.

Velocidade lineal: é o cociente entre a distancia percorrida polo móbil sobre a circunferencia e o tempo empregado.

Velocidade angular: é o cociente entre o ángulo virado polo móbil con respecto ao centro da circunferencia e o tempo empregado.

Dela deducimos a ecuación do movemento:

Equivalencia entre a velocidade lineal e angular

EXERCICIOS PARA PRACTICAR

MOVEMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO

Movemento circular uniformemente acelerado (MCUA) é aquel que ten a traxectoria circular e a aceleración angular constante.

Necesitamos outra ecuación para as posicións angulares:

Estas ecuacións son similares ás do MRUA con magnitudes angulares. Despexando o tempo na primeira e substituíndoo na segunda temos:

MOVEMENTO HARMÓNICO SIMPLE

Chamamos movementos oscilatorios ou vibratorios aos movementos periódicos que se producen cando un corpo se despraza alternativamente dun lado ao outro dunha posición de equilibrio. Pensa no péndulo dun reloxo, unha árbore movéndose polo vento, unha corda de guitarra soando, o movemento do pistón no motor ou no deporte de risco chamado puenting.

Cando un movemento oscilatorio podémolo representar por unha función seno ou coseno atopámonos cun movemento que chamamos harmónico. Dentro destes movementos estudaremos o Movemento Harmónico Simple (MHS), que se axusta a moitos movementos que atopamos na natureza.

Cando un móbil desprázase sobre o eixe X oscilando sobre a orixe de coordenadas dise que describe un movemento harmónico simple cando a súa posición vén dada pola seguinte función:

x é a elongación, dános a posición do móbil en calquera instante t.

A é a amplitude, é o valor da elongación máxima.

φ y φ0 son a fase e a fase inicial, mídense en radiáns. φ=ω·t+φ0.

ω , mídese en rad/s. Está relacionada con outras dúas magnitudes importantes: ω=2π/T=2π·f

T é o período. Tempo correspondente a unha oscilación completa. Mídese en segundos.

f é a frecuencia. Representa o número de oscilacións por segundo. Mídese en hertzs o s-1.

Imaxinemos un corpo que oscila entre dúas posicións A e -A.

A velocidade calculámola derivando a función que nos dá a posición.

Como o seno ou o coseno oscilan entre 1 e -1, o valor máximo que pode alcanzar a velocidade é:

Podemos atopar unha expresión que nos relaciona a velocidade coa elongación:

Para calcular a aceleración derivamos a función da velocidade:

 

Principal MRU Alcances MRUA - v t a MRUA - x t a MRUA - x v a Tiro parabólico Enunciados